Visualisierung – Data Science Blog

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Die Rastrigin-Funktion

September 15, 2016/0 Comments/in Mathematics, optimization, Python, Tutorial, Visualization /by Benjamin Aunkofer

Jeder Data Scientist kommt hin und wieder mal in die Situation, einen Algorithmus trainieren bzw. optimieren zu wollen oder zu müssen, ohne jedoch, dass passende Trainingsdaten unmittelbar verfügbar wären. Zum einen kann man in solchen Fällen auf Beispieldaten zugreifen, die mit vielen Analysetools mitgeliefert werden, oder aber man generiert sich seine Daten via mathematischer Modelle selbst, die für bestimmte Eigenschaften bekannt sind, die gute Bedingungen für das Optimierungstraining liefern.

Ein solches Modell, das man als Machine Learning Entwickler kennen sollte, ist die Rastrigin-Funktion, die laut Wikipedia von Leonard A. Rastrigin erstmalig beschrieben wurde. Dabei handelt es sich um eine Häufigkeites-/Wahrscheinlichkeitsverteilung, deren Dichte mehrere lokale Modi (Gipfel) aufweist. Ein Modus (oder Modalwert) ist in einer Häufigkeitsverteilung der häufigste Wert (“Bergspitze”) bzw. der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit.

Anmerkung des Autors: Dieser Artikel stellt zum einen die Rastrigin-Funktion und ihre Bedeutung für die Optimierungsrechnung vor, ist zum anderen aber auch eine Einführung in den Umgang mit NumPy-Matrizen (die eine Menge For-Schleifen ersparen können).

Die Rastrigin-Funktion

Mathematisch beschrieben wird die Rastrigin-Funktion wie folgt:

$f(x_1 \cdots x_n) = An + \sum_{i=1}^n (x_i^2 -10cos(2\pi x_i))$

$-5.12 \leq x_i \leq 5.12$

Wobei für das globale Minimum gilt: $f(0) = 0$
Außerdem ist zu beachten, dass $A=10$ eine Konstante ist.

Die Rastrigin-Funktion im Standard-Python umsetzen und visualisieren

Die Formel lässt sich in Python (wie natürlich in jeder anderen Programmiersprache auch) einfach umsetzen:

1	value = 10 + x*2 - 10 math.cos(2 * math.pi * x)

Nun können wir über den klassischen Weg der Programmierung einfach eine For-Schleife verwenden, um die Rastrigin-Funktionswerte in eine Liste zu packen und mit einem Plot zu visualsieren, dabei bin ich leider doch nicht ganz um die Verwendung des NumPy-Pakets nicht herumgekommen:

import matplotlib.pyplot as pyplot

import numpy as np # NumPy hat die Matrizen-Datenstruktur, die wir benötigen

import math as math # Grundlegende mathematische Funktionen (hier benötigt: Kreiszahl Pi und Cosinus-Funktion)

rastriginValues = []

i = 0

for x in np.arange(-5.12, 5.12, 0.01): # Die Python-eigene range()-Funktion kann leider keine Floats, sondern nur Integer erzeugen :-/

value = 10 + x**2 - 10 * math.cos(2 * math.pi * x)

i += 1

print(i, x, value)

rastriginValues.append(value)

pyplot.plot(rastriginValues)

pyplot.ylim(0,50)

pyplot.xlim(0,1024)

pyplot.show()

Die grafische Darstellung zeigt, dass es sich tatsächlich um eine symmetrische multimodalen Verteilung handelt.

Die Rastrigin-Funktion mehrdimensional umsetzen, mit NumPy-Matrizen-Funktionen

Die obige Umsetzung der Rastrigin-Funktion ist eindimensional (eine Variable), braucht für die Darstellung allerdings zwei Dimensionen (f(x) und die Durchlaufanzahl bzw. Zeitachse). Nun könnten wir die Zahl der Variablen von 1 (x) auf 2 (x und y) erhöhen und eine dreidimensionale Darstellung erzeugen. Eine ähnliche dreidimensionale Darstellung gab es bereits in meiner Vorstellung des k-nearest-Neighbour-Algorithmus nachzuvollziehen. Dabei müssten wir die Konstante $A=10$ auf $A=20$ verdoppeln:

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import matplotlib.pyplot as pyplot

import numpy as np

figure = pyplot.figure()

axe = figure.add_subplot(111, projection='3d')

x = np.linspace(-5.12, 5.12, 100) # unterteilt den Bereich in 100 Schnitte, ähnlich: np.arange(-5.12, 5.12, 0.1)

y = np.linspace(-5.12, 5.12, 100)

x, y = np.meshgrid(x, y) # erzeugt ein Koordinatensystem

# Nun ohne Schleifen: Wir wenden die NumPy-Funktionen (np.cos statt math.cos und np.pi statt math.pi)

# auf die NumPy-Arrays an (x und y) und erhalten ein NumPy-Array z zurück

z = 20 + x**2 - 10 * np.cos(2 * np.pi * x) + y**2 - 10 * np.cos(2* np.pi * y)

# Plotte die drei Variablen (x, y, z) im dreidimensionalen Raum

axe.plot_surface(x, y, z, rstride=1, cstride=1, cmap="jet", linewidth=0, antialiased=False)

pyplot.title('Rastrigin-Map')

pyplot.grid(True)

axes = pyplot.gca()

axes.set_xlim([-5.12,5.12])

axes.set_ylim([-5.12,5.12])

pyplot.show()

Die Rastrigin-Funktion wird gerne für Optimierungsalgorithmen eingesetzt, wofür sie wegen des großen Suchraums und der hohen Anzahl lokaler Modi ein herausforderndes Umfeld bietet. Beispielsweise wird – meines Erachtens nach – das wohl beliebteste Optimierungsverfahren im maschinellen Lernen, das Gradientenverfahren, hier keine guten Ergebnisse liefern, denn es gibt einfach zu viele lokale Minima.

Perspektiv-Wechsel mit Process Mining

January 25, 2016/1 Comment/in Business Analytics, Business Intelligence, Data Mining, Data Science, Process Mining, Use Case /by Anne Rozinat & Christian W. Günther

Data Scientists verbringen einen Großteil ihres Tages mit explorativer Analyse. In der 2015 Data Science Salary Survey^[1] gaben 46% der Befragten an, ein bis drei Stunden pro Tag auf das Zusammenfassen, Visualisieren und Verstehen von Daten zu verwenden, mehr noch als auf die Datensäuberung und Datenaufbereitung.

Process Mining konzentriert sich auf die Analyse von Prozessen^[2], und ist insbesondere für die explorative Analyse von prozessbezogenen Daten ein hervorragendes Werkzeug. Wenn sich Ihr Data-Science-Projekt auf Geschäfts- oder IT-Prozesse bezieht, dann müssen Sie diese Prozesse erst erforschen und genau verstehen, bevor Sie sinnvoll Machine-Learning Algorithmen trainieren oder statistische Analysen fahren können.

Mit Process Mining können Sie eine Prozess-Sicht auf die Daten einnehmen. Die konkrete Prozess-Sicht ergibt sich aus den folgenden drei Parametern:

Case ID: Die gewählte Vorgangsnummer bestimmt den Umfang des Prozesses und verbindet die Schritte einer einzelne Prozessinstanz von Anfang bis Ende (z.B. eine Kundennummer, Bestellnummer oder Patienten-ID)
Activity: Der Aktivitätsname bestimmt die Arbeitsschritte, die in der Prozesssicht dargestellt werden (z.B. „Bestellung empfangen“ oder „Röntgenuntersuchung durchgeführt“).
Timestamp: Ein oder mehrere Zeitstempel pro Arbeitsschritt (z.B. vom Start und vom Ende der Röntgenuntersuchung) werden zur Berechnung der Prozessabfolge und zum Ableiten von parallelen Prozessschritten herangezogen.

Wenn Sie einen Datensatz mit Process Mining analysieren, dann bestimmen Sie zu Beginn der Analyse, welche Spalten in den Daten der Case ID, dem Aktivitätsnamen und den Timestamps entsprechen. Beim Import der Daten in das Process Mining Tool können Sie diese Parameter dann in der Konfiguration einstellen.

Beim Importieren einer CSV-Datei in die Process Mining Software Disco können Sie für jede Spalte in ihrem Datensatz auswählen, wie diese interpretiert werden soll.^[a] In dem folgenden abgebildeten Beispiel eines Einkaufsprozesses sind die Case ID-Spalte (die Bestellnummer) als Case ID, die Start- und Complete-Timestamps als Timestamp und die Activity-Spalte als Activity eingestellt. Als Ergebnis produziert die Process Mining Software vollautomatisch eine grafische Darstellung des tatsächlichen Einkaufsprozesses auf Basis der historischen Daten. Der Prozess kann jetzt faktenbasiert weiter analysiert werden.

^aFür die Open-Source-Software ProM arbeitet man oft über XML-Formate wie XES oder MXML, die diese Konfiguration abbilden.

In der Regel ergibt sich die erste Prozesssicht – und die daraus abzuleitende Import-Konfiguration – aus der Aufgabenstellung und dem Prozessverständnis.

Allerdings ist vielen Process-Mining-Neulingen noch nicht bewusst, dass eine große Stärke von Process Mining als exploratives Analyse-Werkzeug gerade darin besteht, dass man schnell und flexibel verschiedene Sichten auf den Prozess einnehmen kann. Die oben genannten Parameter funktionieren wie eine Linse, mit der Sie Prozesssichten aus verschiedenen Blickwinkeln einstellen können.

Hier sind drei Beispiele:

1. Anderer Aktivitäts-Fokus

Für den obigen Einkaufsprozess können wir z.B. den Fokus auch auf den organisatorischen Übergabefluss richten, indem wir als Activity die Role-Spalte (die Funktion oder Abteilung des Mitarbeiters) einstellen.

Somit kann der gleiche Prozess (und sogar der gleiche Datensatz) nun aus der organisationalen Perspektive analysiert werden. Ping-Pong-Verhalten und erhöhte Wartezeiten bei der Übergabe von Vorgängen zwischen Abteilungen können sichtbar gemacht und adressiert werden.

2. Kombinierte Aktivität

Anstatt den Fokus zu wechseln können wir auch verschiedene Dimensionen kombinieren, um ein detaillierteres Bild von dem Prozess zu bekommen.

Wenn Sie sich den folgenden Callcenter-Prozess anschauen, dann würden Sie vermutlich zunächst die Spalte ‘Operation’ als Aktivitätsname einstellen. Als Ergebnis sehen wir den folgenden Prozess mit sechs verschiedenen Prozessschritten, die u.a. das Annehmen von eingehenden Kundenanrufen (‚Inbound Call’) und interne Aktivitäten (‚Handle Case’) repräsentieren.

Jetzt stellen Sie sich vor, dass Sie den Prozess gern genauer analysieren würden. Sie möchten gern sehen, wie oft eingehende Anrufe von dem First-Level Support im Callcenter an die Spezialisten im Backoffice weitergeleitet werden. Tatsächlich sind diese Informationen in den Daten enthalten. Das Attribut ‚Agent Position’ gibt an, ob die Aktivität im First-Level Support (als ‘FL’ vermerkt) oder im Backoffice (als ‘BL’ vermerkt) stattgefunden hat.

Um die ‚Agent Position’ in die Aktivitätssicht mitzunehmen, können wir einfach sowohl die Spalte ‘Operation’ als auch die Spalte ‘Agent Position’ als Aktivitätsnamen einstellen. Die Inhalte der beiden Spalten werden nun zusammengefasst (konkateniert).

Als Ergebnis bekommen wir eine detailliertere Sicht auf den Prozess. Wir sehen z.B., dass im First-Level Support angenommene Anrufe 152 mal an das Backoffice zur weiteren Verarbeitung übergeben wurden.

3. Alternativer Case-Fokus

Zuletzt können wir für den gleichen Callcenter-Prozess in Frage stellen, ob die als Vorgangsnummer gewählte Service-Request-ID des CRM-Systems die gewünschte Prozesssicht bietet. Immerhin gibt es auch eine Kundennummer und für ‚Customer 3’ sind mindestens drei verschiedene Service-Anfragen vermerkt (Case 3, Case 12 und Case 14).

Was ist, wenn diese drei Anfragen zusammenhängen und sich die Service-Mitarbeiter nur nicht die Mühe gemacht haben, den bestehenden Case im System zu suchen und wieder zu öffnen? Das Ergebnis wäre eine verminderte Kundenzufriedenheit, weil der ‚Customer 3’ bei jedem Anruf erneut seine Problembeschreibung abgeben muss.

Das Ergebnis wäre außerdem eine geschönte ‚First Call Resolution Rate’: Die ‚First Call Resolution Rate’ ist eine typische Prozesskennzahl in Callcentern, in der gemessen wird, wie oft ein Kundenproblem im ersten Anruf gelöst werden konnte.

Genau das ist in dem Kundenservice-Prozess eines Internet-Unternehmens passiert^[3]. In einem Process-Mining-Projekt wurde zunächst der Kontaktaufnahmeprozess (über Telefon, Internet, E-Mail oder Chat) über die Service ID als Vorgangsnummer analysiert. In dieser Sicht ergab sich eine beeindruckende ‚First Contact Resolution Rate’ von 98%. Unter 21.304 eingehenden Anrufen gab es scheinbar nur 540 Wiederholungsanrufe.

Dann fiel den Analysten auf, dass alle Service-Anfragen immer ziemlich schnell geschlossen und so gut wie nie wieder geöffnet wurden. Um den Prozess aus Kundenperspektive zu analysieren, verwendeten sie dann die Kundennummer als Case ID. Somit wurden alle Anrufe eines Kunden in dem Zeitraum zu einem Vorgang zusammengefasst und die Wiederholungsanrufe wurden sichtbar.

Die ‚First Contact Resolution Rate’ betrug in Wirklichkeit nur 82%. Nur 17.065 Fälle wurden in Wirklichkeit von einem eingehenden Anruf gestartet. Über 3000 waren Wiederholungsanrufe, die aber als neue Serviceanfragen im System (und im Performance-Report!) gezählt wurden.

Fazit

Process Mining ermöglicht es Ihnen eine Prozessperspektive auf Ihre Daten einzunehmen. Darüber hinaus lohnt es sich, verschiedene Sichten auf den Prozess zu betrachten. Halten Sie Ausschau nach anderen Aktivitäts-Perspektiven, möglichen Kombinationen von Feldern und neuen Sichtweisen darauf, was einen Vorgang im Prozess ausmacht.

Sie können verschiedene Blickwinkel einnehmen, um verschiedene Fragen zu beantworten. Oft ergeben erst verschiedene Sichten zusammen ein Gesamtbild auf den Prozess.

Möchten Sie die in diesem Artikel vorgestellten Perspektiv-Wechsel einmal selbst genauer erforschen? Sie können die verwendeten Beispiel-Dateien herunterladen (Zip-Verzeichnis) und direkt mit der frei verfügbaren Demo-Version unserer Process Mining Software Disco analysieren.

Quellen

[1] 2015 Data Science Salary Survey (von Oreilly.com, PDF)

[2] Komplexe Abläufe verständlich dargestellt mit Process Mining (hier im Data Science Blog)

[3] You Need To Be Careful How You Measure Your Processes (fluxicon.com)

3D-Visualisierung von Graphen

July 20, 2015/2 Comments/in Big Data, Data Mining, NoSQL, Visualization /by Benjamin Aunkofer

Die Graphentheorie ist ein wichtiger Teil vieler Methoden und Anwendungsgebiete für Big Data Analytics. Graphen sind mathematisch beschreibbare Strukturen, ohne die im Ingenieurwesen nichts funktionieren würde. Ein Graph besteht aus zwei Knoten (Ecken, engl. Vertex), die über eine Kante (engl. Edge) verbunden sind.

Auf Graphen stoßen Data Scientists beispielsweise bei der Social Media Analyse, beim Aufbau von Empfehlungssystemen (das Amazon-Prinzip) oder auch bei Prozessanalysen (Process Mining). Aber auch einige Big Data Technologien setzen ganz grundlegend auf Graphen, beispielsweise einige NoSQL-Datenbanken wie die Graphendatenbank Neo4j und andere.

Graphen können nicht nur einfache Verkettungen, sondern komplexe Netzwerke abbilden. Das Schöne daran ist, dass Graphen nicht ganz so abstrakt sind, wie viele andere Bereiche der Mathematik, sondern sich wunderbar visualisieren lassen und wir auch in unserem Vorstellungsvermögen recht gut mit ihnen “arbeiten” können.

Mit der Visualisierung von Graphen, können wir uns Muster vor Augen führen und ein visuelles Data Mining betreiben. Iterative und auch rekursive Vorgänge sowie Abhängigkeiten zwischen einzelnen Objekten/Zuständen können visuell einfach besser verstanden werden. Bei besonders umfangreichen und zugleich vielfältigen Graphen ist eine Visualisierung in drei bzw. vier Dimensionen (x-, y-, z-Dimensionen + Zeit t) nicht nur schöner anzusehen, sondern kann auch sehr dabei helfen, ein Verständnis (z. B. über Graphen-Cluster) zu erhalten. Read more

Top 10 der Python Bibliotheken für Data Science

May 24, 2015/5 Comments/in Data Mining, Data Science, GPU-Processing, Machine Learning, Predictive Analytics, Python, Text Mining /by Benjamin Aunkofer

Python gilt unter Data Scientists als Alternative zu R Statistics. Ich bevorzuge Python auf Grund seiner Syntax und Einfachheit gegenüber R, komme hinsichtlich der vielen Module jedoch häufig etwas durcheinander. Aus diesem Grund liste ich hier die – meiner Einschätzung nach – zehn nützlichsten Bibliotheken für Python, um einfache Datenanalysen, aber auch semantische Textanalysen, Predictive Analytics und Machine Learning in die Tat umzusetzen.

NumPy – Numerische Analyse

NumPy ist eine Open Source Erweiterung für Python. Das Modul stellt vorkompilierte Funktionen für die numerische Analyse zur Verfügung. Insbesondere ermöglicht es den einfachen Umgang mit sehr großen, multidimensionalen Arrays (Listen) und Matrizen, bietet jedoch auch viele weitere grundlegende Features (z. B. Funktionen der Zufallszahlenbildung, Fourier Transformation, linearen Algebra). Ferner stellt das NumPy sehr viele Funktionen mathematische Funktionen für das Arbeiten mit den Arrays und Matrizen bereit.

matplotlib – 2D/3D Datenvisualisierung

Die matplotlib erweitert NumPy um grafische Darstellungsmöglichkeiten in 2D und 3D. Das Modul ist in Kombination mit NumPy wohl die am häufigsten eingesetzte Visualisierungsbibliothek für Python.

Die matplotlib bietet eine objektorientierte API, um die dynamischen Grafiken in Pyhton GUI-Toolkits einbinden zu können (z. B. GTL+ oder wxPython).

NumPy und matplotlib werden auch mit den nachfolgenden Bibliotheken kombiniert.

Bokeh – Interaktive Datenvisualisierung

Während die Plot-Funktionen von matplotlib statisch angezeigt werden, kann in den Visualsierungsplots von Bokeh der Anwender interaktiv im Chart klicken und es verändern. Bokeh ist besonders dann geeignet, wenn die Datenvisualisierung als Dashboard im Webbrowser erfolgen soll.

Das Bild über diesen Artikel zeigt Visualiserungen mit dem Python Package Bokeh.

Pandas – Komplexe Datenanalyse

Pandas ist eine Bibliothek für die Datenverarbeitung und Datenanalyse mit Python. Es erweitert Python um Datenstrukturen und Funktionen zur Verarbeitung von Datentabellen. Eine besondere Stärke von Pandas ist die Zeitreihenanalyse. Pandas ist freie Software (BSD License).

Statsmodels – Statistische Datenanalyse

Statsmodels is a Python module that allows users to explore data, estimate statistical models, and perform statistical tests. An extensive list of descriptive statistics, statistical tests, plotting functions, and result statistics are available for different types of data and each estimator.

Die explorative Datenanalyse, statistische Modellierung und statistische Tests ermöglicht das Modul Statsmodels. Das Modul bringt neben vielen statistischen Funktionen auch eigene Plots (Visualisierungen) mit. Mit dem Modul wird Predictive Analytics möglich. Statsmodels wird häufig mit NumPy, matplotlib und Pandas kombiniert.

SciPy – Lineare Optimierung

SciPy ist ein sehr verbreitetes Mathematik-Modul für Python, welches den Schwerpunkt auf die mathematische Optimierung legt. Funktionen der linearen Algebra, Differenzialrechnung, Interpolation, Signal- und Bildverarbeitung sind in SciPy enthalten.

scikit-learn – Machine Learning

scikit-learn ist eine Framework für Python, das auf NumPy, matplotlob und SciPy aufsetzt, dieses jedoch um Funktionen für das maschinelle Lernen (Machine Learning) erweitert. Das Modul umfasst für das maschinelle Lernen notwendige Algorithmen für Klassifikationen, Regressionen, Clustering und Dimensionsreduktion.

Mlpy – Machine Learning

Alternativ zu scikit-learn, bietet auch Mlpy eine mächtige Bibliothek an Funktionen für Machine Learning. Mlpy setzt ebenfalls auf NumPy und SciPy, auf, erweitert den Funktionsumfang jedoch um Methoden des überwachten und unüberwachten maschinellen Lernens.

NLTK – Text Mining

NLTK steht für Natural Language Toolkit und ermöglicht den effektiven Einstieg ins Text Mining mit Python. Das Modul beinhaltet eigene (eher einfache) Visualisierungsmöglichkeiten zur Darstellung von Textmuster-Zusammenhängen, z. B. in Baumstrukturen. Für Text Mining und semantische Textanalysen mit Python gibt es wohl nichts besseres als NLTK.

Theano – Multidimensionale Berechnungen & GPU-Processing

Theano is a Python library that allows you to define, optimize, and evaluate mathematical expressions involving multi-dimensional arrays efficiently

Für multidimensionale Datenanalysen bzw. die Verarbeitung und Auswertung von multidimensionalen Arrays gibt es wohl nichts schnelleres als die Bibliothek Theano. Theano ist dabei eng mit NumPy verbunden.

Theano ermöglicht die Auslagerung der Berechnung auf die GPU (Grafikprozessor), was bis zu 140 mal schneller als auf der CPU sein soll. Getestet habe ich es zwar nicht, aber grundsätzlich ist es wahr, dass die GPU multidimensionale Arrays schneller verarbeiten kann, als die CPU. Zwar ist die CPU universeller (kann quasi alles berechnen), die GPU ist aber auf die Berechnung von 3D-Grafiken optimiert, die ebenfalls über multidimensionalen Vektoren verarbeitet werden.